Question

求经过两圆x^2+y^2=4与x^2+y^2-4x+2y=0的交点,且面积最小的圆的方程

Answer 1

答：
圆x²+y²=4，圆心（0，0）
圆x²+y²-4x+2y=0，圆心（2，-1）
两式联立得：
4-4x+2y=0
所以：两圆的公共弦直线为2x-y-2=0，y=2x-2，-2x+y=-2
经过两圆交点的圆的面积最小
即所求圆的直径即为上述两圆的公共弦
上述两圆的圆心连线为y=-x/2
与y=2x-2联立求导圆心为（4/5，-2/5）
(x-4/5)²+(y+2/5)²=R²
x²+y²-8x/5+4y/5=R²-16/25-4/25
4-2*4/5=R²-4/5
R²=16/5
所以：该圆为(x-4/5)²+(y+2/5)²=16/5

Answer 2

两方程相减得：
4x-2y=4
得：y=2x-2
代入其中一个圆的方程：x^2+4x^2-8x+4=4,得：5x^2-8x=0
得：x=0或8/5
故y=-2或6/5
即交点为(0,-2),(8/5,6/5)
面积最小的是以两交点为直径的圆。
两交点的中点为(4/5,-2/5)
两交点的距离为√[(8^2/5^2+(-2-6/5)^2]=8√5/5，即半径为4√5/5
所以该圆的方程为：(x-4/5)^2+(y+2/5)^2=16/5