Question

如果两个子数列都收敛于同一个数，如何证明原数列同样收敛于这个数

Answer 1

必须是此数列的任何非平凡子数列都收敛于同一个数则原数列收敛于此数利用邻域证明。

子数列，又称子序列，在数学中，某个序列的子序列是从最初序列通过去除某些元素但不破坏余下元素的相对位置（在前或在后）而形成的新序列。

假设 X 是集合而 (ak) k ∈ K 是 X 中的序列，其中若 (ak) 是有限序列，则 K = {1,2,3,...,n}；若 (ak) 是无限序列，则 (ak) 的子序列是形如的序列，这里的 (nr) 是在索引集合 K 中严格递增序列。

给定数列{Xn}：X1，X2，…，Xn，…，在这个数列里，任取无穷多项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列，任何一个数列都存在无穷多个子数列。如果这个子数列存在极限，就称它为是原来数列的一个收敛子数列。

Answer 2

这个命题是不成立的。比如：

{x_n}：1，2，2，1，2，2，1，2，2，……

容易知道，{x_3k}与{x_3k+2}都收敛于2，但{x_n}发散。

Answer 3

必须是此数列的任何非平凡子数列都收敛于同一个数
则原数列收敛于此数
利用邻域证明