Question

设函数f(X)在[-a,a]连续，则下列函数必为偶函数的是

A x[f(X)+f(-x)]
B x[f(x)-f(-x)]
C x+f(X^2)
D (f(X))^2
答案为B 求具体过程
而且我不懂 F(X)=f(X)+f(-x) 为什么是偶函数
F(X)=f(X)-f(-x)为什么是奇函数

Answer 1

答：
f(x)在[-a，a]上连续

A
x[f(X)+f(-x)]
g(x)=x[f(X)+f(-x)]
g(-x)=-x*[f(-x)+f(x)]=-g(x)，奇函数

B
x[f(x)-f(-x)]
g(x)=x[f(x)-f(-x)]
g(-x)=-x[f(-x)-f(x)]=x[f(x)-f(-x)]=g(x)，偶函数

C
x+f(X^2)
特例f(x^2)=1的时候非奇函数非偶函数

D (f(X))^2
同C举特例即可
f(x)=x+1就是特例之一

Answer 2

B
F(x)=x[f(x)-f(-x)]
F(-x)=-x[f(-x)-f(x)]=x[f(x)-f(-x)]=F(x)
所以F(x)是偶函数

设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)，所以g(x)是偶函数
h(x)=f(x)-f(-x)，则h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)，所以h(x)是奇函数

Answer 3

选B
AF(-X)+F(X)=0是奇函数
CD非奇非偶
F(X)=f(X)+f(-x)

F(-X)=f(-X)+f[-(-x)]=f(X)+f(-x)=F(X)
所以F(X)=f(X)+f(-x)是偶函数

同理F(X)=f(X)-f(-x)为奇函数