已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R 都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)
已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立，且x＞0时，f(x)>2判断f(x)单调性并证明...
已知函数f(x)满足：对任意x,y属于R 都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立，且x＞0时，f(x)>2
判断f(x)单调性并证明 展开
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任取x＞0，y=0，代入得到
f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2
【2-f(0)】·【f(x)-1】=0
∵ f(x)＞2
∴ f(x)-1＞0
∴ f(0)=2
取x＜0，令y=-x
∵ y=-x＞0
∴ f(-x)＞2
f(0)=f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)+2
f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)=0
【f(x)-1】【f(-x)-1】=1
f(x)=1+1/【f(-x)-1】
∴ 1＜f(x)＜2
任取x1＜x2
令x=x1，y=x2-x1，
∵ y=x2-x1＞0
∴ f(y)=f(x2-x1)＞2
则
f(x2)=【f(x1)-1】【f(x2-x1)-1】+1
＞f(x1)-1+1
=f(x1)
∴ f(x) 单调递增。
f(x)=f(x)f(0)-f(x)-f(0)+2
【2-f(0)】·【f(x)-1】=0
∵ f(x)＞2
∴ f(x)-1＞0
∴ f(0)=2
取x＜0，令y=-x
∵ y=-x＞0
∴ f(-x)＞2
f(0)=f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)+2
f(x)f(-x)-f(x)-f(-x)=0
【f(x)-1】【f(-x)-1】=1
f(x)=1+1/【f(-x)-1】
∴ 1＜f(x)＜2
任取x1＜x2
令x=x1，y=x2-x1，
∵ y=x2-x1＞0
∴ f(y)=f(x2-x1)＞2
则
f(x2)=【f(x1)-1】【f(x2-x1)-1】+1
＞f(x1)-1+1
=f(x1)
∴ f(x) 单调递增。
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