Question

变限积分怎么求导数 谢谢

Answer 1

最常见的是变上限函数的积分，即∫f(t)dt（积分限a到x），根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值，改用t是为了不与上限x混淆。现在用导数定义求g'(x)，根据定义，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性），根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)。对于最一般形式的变限积分，其积分的上下限都可以是函数，分别用u(x)和v(x)表示，即g(x)=∫f(t)dt（积分限v(x)到u(x)），用类似的方法可以证明，g'(x)=u'(x)f[u(x)]-v'(x)f[v(x)]，这是最一般的变限积分求导公式，任何变限积分求导问题都可用此式解决。

Answer 2

严格的证明需要用到函数的一致收敛性。
但是如果我们假设各种极限过程可交换，极限都存在（当然，这些都可以证明）
那么
f'(x)=（h->0）lim(积分(0,x+h)e^(t(x+h)-t^2)dt
-积分(0,x)e^(tx-t^2)dt)/h
=(h->0)
lim积分(x,x+h)e^(t(x+h)-t^2)dt/h+lim积分(0,x)(e^(t(x+h)-t^2)-e^(tx-t^2))/h*dt-----------***
=1+积分(0,x)(t*e^(tx-t^2))dt
最后的积分不是一个初等函数。
***处后一个极限号需要用到极限交换的假设才能继续计算