Question

请教高中数学题，请详细回答，谢谢

A∈平面α。AB=5，AC=2根号2,若AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成45角，则BC距离的范围是多少
答案是[根号5，根号29]u[根号37，根号61]

Answer 1

解：AB=5,AB与α所成角正弦值为0.8,设AB的投影为AD， BD/AB=0.8，BD=4，AD=3，

       AC=2倍根号下2，AC与α成45角，设AC的投影为AE，CE=2，AE=2

      平面α将空间分成两部分，
      1、点B、C在平面α的同侧，

      （1）

              

          

         BC^2=BF^2+CF^2=(BD-CE)^2+(AD-AE)^2=(4-2)^2+((3-2)^2=5,

         BC=根号下5；

（2）

        

    

     BC^2=BF^2+CF^2=(BD-CE)^2+(AD+AE)^2=(4-2)^2+(3+2)^2=29,

     BC=根号下29；

     所以B、C在平面a的同侧时，

   

    2、点B、C在平面a的异侧，

     （1）

             

    

         BC^2=BF^2+CF^2=(AD-AE)^2+(BD+CE)^2=(3-2)^2+(4+2)^2=37,

         BC=根号下37   ；

   （2）

            

       

      BC^2=BF^2+CF^2=(AD+AE)^2+(BD+CE)^2=(3+2)^2+(4+2)^2=61,

      BC=根号下61，

      所以当点B、C在平面a的异侧时，

     

      

    

Answer 2

当ABC三点同处于垂直平面α的平面时，为BC两点的最大值与最小值，AB在平面α的投影为3，AC在平面α的投影为2，则BC²＝（3－2）²＋（4－2）²
BC＝√5　　此为BC最小值
最大值为BC²＝（3＋2）²＋（4－2）²
BC＝√29
所以BC的范围是　　大于√5小于√29，

当然还有第二种情况了
就是BC位于平面的两侧，此时做法是一样的，但结果是大于√37小于√61，