Question

怎样学好高等代数

Answer 1

不要以为考试拿一个高分就是学好了高等代数，我在PKU
的很多同学都是高分选手，但是他们的高代水平实在让人无法恭维。当然这不是他们的能力问题，本身学校的考试就很难真正反映学生的真实水准；其次大家都有很多东西要学，没那么多时间花在高代上。
也不要以为把习题集都做一遍，脑子里装满各种题目就可以学好高等代数。诚然做题甚至是大量做题是学好高代的必要条件，但还不是充分条件。
这些话有一定道理，但并不正确。
本质上讲，学好高代很像当年令狐冲当年学独孤九剑，首先要学会扎马步，握剑等基本动作，鉴于令狐冲是气宗的弟子，他还要学些内功心法入门。这些相当于我们刚学高代的阶段，念书上的定理，做做课后的习题。虽然很平淡，甚至有些无聊，但是大家都是这么走过来的，就算你资质平平甚至有些愚钝，完成这一步还是不难的。后来令狐冲在华山思过崖上的石洞里见识了五大剑派的各种失传绝招，当然这些招式被魔教十长老破的干干净净。这常人梦寐以求而不得的际遇给了他巨大的冲击，令他陷入了痛苦和迷茫之中：再精妙的招式也总有被人破解的一天，这世上真有立于不败之地的剑法吗？如何才能达到剑法上的极致境界呢？
后来的事情大家都知道了，他遇到了风清扬，这个绝世独立的老夫子给了他绝望中的启示：手中有招而心中无招，心中无招则对手便无招可破。客观讲我得说这话写得很唯心，我怀疑金庸大侠是受了王阳明的启发。不是么？当年王阳明寻求天地间的至理，苦苦寻觅而不得（比如开始的时候他信仰程颐朱熹通过事事物物追求“至理”的格物致知的方法，曾对着一棵竹子格了七天）。但终于一朝彻悟，创立了心血。这和令狐冲的经历何其相似。
抱歉扯远了。
不过有一点是可以肯定的，他们的经历可以用一句话概括：众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
我们学习也是这样，做了很多很多题，发现越做越糊涂了，见识了不少方法和技巧，可自己一做题就不知道怎么用。特别是看到别人的奇思妙想，精彩证明的时候，折服之余也难免困惑，这人是怎么想出来的？这就是令狐冲当年的困惑，也是所有人都会经历的一段困惑，没有人有例外。相信我，那些作出精妙解答的高手们，也都有一段“独上高楼，望断天涯路”的艰难经历。对此，我给出的答案是：学而不思则罔。
YES，这么证是对的，我明白了，或者说，把定理证明记得滚瓜烂熟，每一步怎么推导的都能给你说出个一二三甚至四五六来。这不是真的懂了，我说的真正的懂是明白定理背后的最简单最原始最朴素的思想，这个思想是如此简单以至于把它说出来的时候仿佛不值一提，但它又是如此深刻以至于你可以忘记定理证明的一切细节，只要有它，你就可以随时随地还原出证明来，甚至许多年以后也不会随记忆的淡忘有所改变。
真正的数学是简单的数学，虽然有时候它的表现形式看起来很麻烦。
要触摸到真正的数学，要知行合一，边做题边思考，这个题目说的是什么意思？这个证明的想法是什么？当过一段时间就要回头看看，最近做过的题目在想法上有什么共同点？有了新的理解，就要投入新的做题实践中去。对数学的理解是没有止境的，当你自以为把一个问题彻底搞明白的时候，也许过一段时间就会有新的理解，过更长的时间就会发现原先的理解是多么浅薄。
总之一句话，要多回头看看。做题最重要的不是数量，是质量。
大巧不工，重剑无锋。当你能够用很简单的语言把一个定理的想法概括出来的时候，我想你已经修炼到了心中无招的境界了，这个时候你已经有能力做出可以媲美以前羡慕过的高人做出的美妙证明来。
刚开始我们都是凡人，经过努力可以成为高人，达到上面的境界以后可以成为妖人（人字一定要放在后面），但是要成为神人，就决不能仅仅局限在高等代数的范围内了，必须学习更进一步的更深的数学知识。
去经受天劫的考验。
幸运的是我们大多数人不用经受天劫的考验，因为从事代数学的人毕竟是极少数，不幸的是即使是从事代数学的人也很少能通过天劫，毕竟基础数学太难了。
抱歉又扯远了。
继续，前面提到，数学专业很多牛人对高等代数不屑一顾，下面证明他们是错误的。
高等代数里面有很多结论，或者说现象，它们一方面是很具体生动的例子，另一方面反映了很深刻的数学事实，许多高深的数学里面的现象，看起来很难理解，但是有了高等代数里面的这些例子作基础，就会变得自然得多。你要我举个例子？放心，面包会有的，一切都会有的。
很多科学，工程，计算课程实际上就是以矩阵理论为基础的，矩阵学得好学起这些课来简直轻松之极。
比如统计学里面的多元正态分布，线性回归分析，时间序列分析等等。还有一些则严重依赖高代，比如时间序列分析，数值计算，常微分方程等等。
总之高深的数学大多数人是不学的，牛人学的时候也要回头来看看高代里面发生的奇特现象。
故事才刚刚开始。