Question

证明 函数fx=x+4/x在区间(2,正无穷)上是单调增函数

Answer 1

任取x1<x2<0
f(x1)-f(x2)
=3^x1/(1+9^x1)-3^x2/(1+9^x2)
=(3^x1(1+9^x2)-3^x2(1+9^x1))/(1+9^x1)(1+9^x2)
=(3^x1-3^x2+3^x1*9^x2-3^x2*9^x1)/(1+9^x1)(1+9^x2)
=(3^x1-3^x2+3^(x1+2x2)-3^(2x1+x2))/(1+9^x1)(1+9^x2)
=(3^x1-3^x2-(3^(x1+x2))(3^x1-3^x2))/(1+9^x1)(1+9^x2)
=((3^x1-3^x2)(1-3^(x1+x2))/(1+9^x1)(1+9^x2)
因为x1<x2<0
x1+x2<0
所以
3^x1-3^x2<0
1-3^(x1+x2)>0
(1+9^x1)(1+9^x2)>0
即f(x1)-f(x2)<0
任意x1<x2<0
所以f(x)在（负无穷，0）上是增函数