Question

在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，求证：AD垂直EF

Answer 1

因为
DE垂直AB于E，DF垂直AC于F，所以角aed=角afd=90度，又因为
AD是∠BAC的平分线，所以角bad=角cad.所以在三角形aed与三角形afd中：
角aed=角afd，
bad=角cad，ad=ad.所以两三角形全等，所以 de=df,角ade=角adf.所以在三角形eod与三角形fod中：de=df,角ade=角adf,do=do,所以两三角形全等，所以角eod=角fod,又因为两角相加是180度，所以两角分别等于90度，
AD垂直EF

Answer 2

设AD交EF于G，AD=AD
角E=角F
ED=FD（角平分线上的点到两边的距离相等）三角形ADE全等ADE，所以AE=AF.角EAD=角DAF，AG=AG.所以三角形AEG全等AFG，所以角ADE=角ADF.
因为角ADE+角ADF=180度，所以角ADE=90度，即AD垂直于EF

Answer 3

由角平分线上点到两边距离相等知DE=DF,所以可知三角形AED全等于三角形ADF,所以AE=AF,因为AE=AF且DE=DF，可知AD为EF的中垂线（垂直平分线），故此得证！