Question

(1)1*2+2*3+3*4+...+100*101=(2)1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=(3)1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=

Answer 1

（1）1*2+2*3+3*4+.....+100*101
=1/3*1*2*3+1/3[2*3*4-1*2*3]+1/3[3*4*5-2*3*4]+....+1/3[100*101*102-99*100*101]
=1/3[1*2*3+2*3*4-1*2*3+3*4*5-2*3*4+...+100*101*102-99*100*101]
=1/3*100*101*102
=343400
（2）1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)
=1×(1+1)+2×(2+1)+3×(3+1)+…+n(n+1)
=(12+1)+(22+2)+(32+3)+…+(n2+n)
=(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)
或者
先取一辅助数列：记为sigma(n)=1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)，将其配成这样：sigma(n)={1*2*(3-0)+2*3*(4-1)+3*4*(5-2)+...+n*(n+1)*[(n+2)-(n-1)]}/3=n*(n+1)*(n+2)/3，又Sn+n*(n+1)/2=sigma(n)，所以Sn=sigma(n)-n*(n+1)/2=n*(n+1)*(2n+1)/6。
(3)1*2*3+2*3*4+...+n(n+1)(n+2)=
(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2)+(1+2+3+...+n)
分组求和，根据公式1^2+2^2+3^2+4^2+5^2...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6以及1+2+3+...+n=n*(n+1)/2
所以原式=n(n+1)(2n+1)/6+n*(n+1)/2=(n+2)(n+1)n/3
或者
n(n+1)=[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
也就是1*2=(3*2*1-2*1*0)/3,
2*3=(4*3*2-3*2*1)/3.....
所以原式=(3*2*1-2*1*0)/3+(4*3*2-3*2*1)/3+(5*4*3-4*3*2)/3+...+[(n+2)(n+1)n-(n+1)n(n-1)]/3
中间项都可以消去
=(n+2)(n+1)n/3