Question

如图在平面直角坐标系中,已知A(-2,0)B(1,3),设经过A,O两点且顶点C在直线AB上的抛物线为m

（1）求直线AB和抛物线m的解析式
（2

）若将抛物线m沿射线AB方向平移（顶点C始终在AB上），设平移后的抛物线与x轴在右侧的交点为点D
①在上述移动过程中，当顶点C在水平方向上移动3个单位长度是，A与D之间的距离是多少？
②当顶点在水平方向移动了a（a〉O）个单位长度时，请用含a的代数式表示AD的长。

Answer 1

1
直线AB：y=x+2
因为C(-1,1)
设抛物线y=a(x+1)^2+1
把(0,0)点带入抛物线公式，解得a=-1
所以抛物线y=-(x+1)^2+1

2
C水平方向移动3, 竖直方向移动3。
得到新的抛物线y=-(x-2)^2+4
令y=-(x-2)^2+4=0
解得D(4,0)
所以AD=6

3
若C水平方向移动a, 竖直方向移动a。
得到新的抛物线y=-(x-a+1)^2+a+1
令y=-(x-a+1)^2+a+1=0
解得D(a-1+√(a+1),0)
所以AD=a+1+√(a+1)

Answer 2

A、D两点关于C对称，AO=2，AC在X轴方向距离为1
当顶点C在水平方向上移动3个单位长度，则AC在X轴距离为4，所以AD=2AC=8
当顶点C在水平方向上移动a个单位长度，则AC在X轴距离为(a+1)，所以AD=2(a+1)