Question

高一三角函数题cosx+cosy=cosxcosy……

Answer 1

楼上给的公式有问题吧？
cosxcosy=1/2*[cos((x+y)/2)+cos((x-y)/2)}
这个有问题。
和差化积的公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+川亥贬酵撞寂鳖檄搏漏β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
积化和差公式：
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
另外
sin(A+B)=sin
A
cos
B
+
cos
A
sin
B
sin(A-B)=sin
A
cos
B
-
cos
A
sin
B
cos(A+B)=cos
A
cos
B
-
sin
A
sin
B
cos(A-B)=cos
A
cos
B
+
sin
A
sin
B
这道题还是换元做看着方便些。换元后就用不着积化和差了。
a=(x+y)/2,
b=(x-y)/2
则x=a+b,
y=a-b.条件变成cosa=0.8
^n表示n次方：
cos(a+b)+cos(a-b)=cos(a+b)cos(a-b)
cosa
cosb
-
sina
sinb
+
cosa
cosb
+
sinasinb
=(cosa
cosb
-
sina
sinb)(cosa
cosb
+
sinasinb)
2cosa
cosb
=
(cosa
cosb)^2
-
(sina
sinb)^2
=(cosa
cosb)^2
-(sina
)^2
(sinb)^2
=(cosa
cosb)^2
-
[1-(cosa)^2][1-(cosb)^2]
代入：
2*0.8
cosb
=
(0.8
cosb)^2
-
[1-0.8^2][1-(cosb)^2]
整理得：
(cosb)^2-1.6(cosb)-0.36=0
解得
cosb=-0.2（1.8舍掉，因为cosb<=1)

Answer 2

解:
∵cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
①
cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]
=1/2{[2cos²((x+y)/2))-1]
+[2cos²((
x-y)/2)-1]}
=cos²((x+y)/2)+cos²((
x-y)/2)-1
②
cos((x+y)/2)=0.8
③
∴
联立
①
②
③,化简得:
cos²((
x-y)/2)-1.6
cos((x-y)/2)
-3.6=0,
解得cos((x-y)/2)=-0.2,或cos((x-y)/2)=1.8
∵
-1≤
cos((x-y)/2)
≤1
∴
cos((x-y)/2)=1.8舍去,
故cos((x-y)/2)=-0.2
说明:积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
倍角公式:
cosα=2cos²(α/2)-1

Answer 3

这道题还是换元做看着方便些。换元后就用不着积化和差了。
a=(x+y)/2,
b=(x-y)/2
则x=a+b,
y=a-b.条件变成cosa=0.8
^n表示n次方：
cos(a+b)+cos(a-b)=cos(a+b)cos(a-b)
cosa
cosb
-
sina
sinb
+
cosa
cosb
+
sinasinb
=(cosa
cosb
-
sina
sinb)(cosa
cosb
+
sinasinb)
2cosa
cosb
=
(cosa
cosb)^2
-
(sina
sinb)^2
=(cosa
cosb)^2
-(sina
)^2
(sinb)^2
=(cosa
cosb)^2
-
[1-(cosa)^2][1-(cosb)^2]
代入：
2*0.8
cosb
=
(0.8
cosb)^2
-
[1-0.8^2][1-(cosb)^2]
整理得：
(cosb)^2-1.6(cosb)-0.36=0
解得
cosb=-0.2（1.8舍掉，因为cosb<=1)

Answer 4

积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
和差化积公式：
sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2](X-Y)]
本题解答:
设A=(X+Y)/2,B=(X-Y)/2
则X=A+B,Y=A-B
cosX+cosY=cos(A+B)+cos(A-B)
由积化和差公式cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
可知cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB
又因为cosX+cosY=cosXcosY(已知)
所以2cosAcosB=cosXcosY=cos(A+B)cos(A-B)
因为cos(A+B)cos(A-B)=(cosAcosB-sinAsinB)(cosAcosB+sinAsinB)=(cosAcosB)^2-(sinAsinB)^2
将cosA=0.8(已知),sinA=|0.6|(计算得出)代入
(cosAcosB)^2-(sinAsinB)^2=0.8^2*(cosB)^2-0.6^2*(sinB)^2=0.8^2*(cosB)^2-0.6^2*(sinB)^2-0.6^2*(cosB)^2+0.6^2*(cosB)^2=(cosB)^2-0.6^2
所以2cosAcosB=1.6cosB=(cosB)^2-0.6^2
即(cosB)^2-1.6cosB-0.6^2=0
解得cosB=-0.2(1.8舍掉)
积化和差公式的证明:
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb
两式相加,得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb
这个就是积化和差公式
令x=a+b,y=a-b,代入,得到
sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)
这个就是和差化积公式
还有的公式和我上面的推导很类似,自己推推看.
反过来就是和差化积公式
累死了,应该够详细了的吧.