Question

f(x)=ax^2+bx+c,x∈[-1,1],|f(x)|≤1,求|a|+|b|+|c|的最大值

Answer 1

|f(0)|≤1
==>
|c|≤1
|f(1)-f(-1)|≤|f(1)|+|f(-1)|≤2
==>
2|b|≤2
==>
|b|≤1
|f(1)|≤1
==>
|a+b+c|≤1
|f(-1)|≤1
==>
|a-b+c|≤1
b和-b中一定有和a+c同号的，则|a+c|+|b|≤1
|a|+|b|+|c|
=|a+c-c|+|b|+|c|
≤|a+c|+|c|+|b|+|c|
=|a+c|+|b|+2|c|
≤1+2
=3
而a=1
b=1
c=-1时刚好可以满足题意，此时|a|+|b|+|c|=3,故|a|+|b|+|c|最大值是3。