Question

lnx(1+x)/(1-x)求导

Answer 1

解：令f(x)=ln[x(1+x)/(1-x)]，应满足x(1+x)/(1-x)>0，则定义域为0<x<1或x<-1。
f'(x)
=ln'[x(1+x)/(1-x)]
=1/[x(1+x)/(1-x)]
×
[(1+x)(1-x)+x(1-x)+x(1+x)]/(1-x)²
=(1+2x-x²)/[x(1+x)(1-x)]
其中x(1+x)(1-x)>0在0<x<1或x<-1时恒成立，则
当f'(x)>0时，有1+2x-x²>0,
=>
1-√2<x<1+√2;
当f'(x)≤0时，=>
x≥1+√2或x≤1-√2
由于0<x<1或x<-1，所以
f(x)=ln[x(1+x)/(1-x)]在区间(0,1)单调增加；
f(x)=ln[x(1+x)/(1-x)]在区间(-∞,-1)∪[1+√2,∞)单调减小。