Question

若方程x^2-mnx+m+n=0有整数根,且m,n为正整数,则mn的值有( )个

Answer 1

楼上说的不对。

由于原方程有正整数解，则原方程必可分解因式。用十字相乘法分解，可得

1
-1

x

1
-(m+n)

于是，-1-(m+n)=
-mn
[由此判断原方程必有一根为1]

即m+n+1=mn
mn-m=n+1
m(n-1)=n+1
m=(n+1)/(n-1)

由于(n+1)比(n-1)大2而两数有公因数，则必可被2整除，于是n为奇数。同时，n-1又是n+1的因数，这样n-1只能等于2。于是
n=3，则m=2
。

实际上，由于原题未给出m和n的大小关系，则也可以是
m=3，n=2
。

这样，原方程就成了x^2-6x+5=0
(x-1)(x-5)=0
x=1或x=5

Answer 2

【分析】
①主要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q；
②设方程两整数根为x1，x2，则x1+x2=mn＞0，x1•x2=m+n＞0，再根据(x1-1)(x2-1)+(m-1)(n-1)=2，即可进行求解。
【解答】
解：
设方程有整数根
则x1+x2=mn＞0，x1•x2=m+n＞0
故这两个根均为正数
又(x1-1)(x2-1)+(m-1)(n-1)=2
其中(x1-1)(x2-1)，m-1，n-1均非负
而为两个
非负整数
和的情况仅有0+2；1+1；2+0
分别可解得：
①m=2，n=3
②m=3，n=2
③m=2，n=2
④m=1，n=5
⑤m=5，n=1
则m•n的值为：
①=②=6；③=4；④=⑤=5∴m•n的值仅有3个。