Question

求数学圆锥曲线的总结

内容有相关知识，解题方法（配例题），数学思想，小结.

Answer 1

一． 与椭圆有关的问题（1） 求距离的最值常用方法：使用参数方程例1：椭圆x2/25+y2/9=1上是否有一点到直线4x-5y+40=0的距离最小 （2） 与“若f1，f2为椭圆的两个焦点，p为椭圆上任一点，则当p坐标为（0，b）或（0，-b）时，角f1pf2最大”有关的问题例2：若椭圆（角f1pf2）max≥90度，求它的离心率的取值范围 （3） Ax2+By2+Dx+Ey+F=0何时表示椭圆易错点1：A*B大于0且A不等于B例3：方程x2/（25-m）+y2/（16+m）=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围（ ） 易错点2：注意椭圆焦点是在x轴上还是在y轴上 二． 与双曲线有关的问题（1） 与渐近线有关的问题易错点3：若焦点在x轴上，则渐近线方程为y=（b/a）x 若焦点在y轴上，则渐近线方程为y=（a/b）x 三． 与抛物线有关的问题（1） 抛物线上的点到焦点的距离常用方法：转化为该点到准线的距离例4：已知P（8，a）在抛物线y2=4px上，则P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） 四． 圆锥曲线的综合（1） 与定义有关的问题Ⅰ离心率常用方法：根据题意找到等式关系易错点4：不要忘记椭圆的离心率一定在（0，1）之间Ⅱ焦半径常用方法：想定义 （2） 直线与圆锥曲线的位置关系Ⅰ直线与圆锥曲线的交点个数问题常用方法：算“△”，注意应用数形结合Ⅱ求弦长常用方法：弦长公式易错点5：直线斜率不存在时要单独讨论 （3） 轨迹方程问题易错点6：注意题目中的隐含条件，除去轨迹中不符合题意的点常用方法Ⅰ：定义法例5：一动圆与两圆：x2+y2=1，x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为--------常用方法Ⅱ：相关点法例6：动点P是抛物线y=2x2+1上任一点，定点A（0，-1），若M为PA的中点，则M的轨迹方程为--------常用方法Ⅲ：消参法例7：若P（x1，y1）在圆x2+y2=1上运动，则点Q（x1y1 ，x1+y1）的轨迹方程为--------常用方法Ⅳ：几何法例8：动点P向圆x2+y2=1作两条切线PA，PB，切点为A，B，角APB=60度，则P的轨迹方程为--------常用方法Ⅴ：弦中点问题通常用点差法 （4） 参数问题Ⅰ求含参数的圆锥曲线方程Ⅱ参数的取值范围及最大（小）值常用方法：①从题目中挖掘数学关系 ②“联立，△大于0” ③线性规划 ④均值不等式 ⑤转化为函数求值域Ⅲ证明。。。。。。是定值 （5） 实际应用问题常用方法：建模思想

Answer 2

圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：
1）椭圆
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：
1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1
其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.
参数方程：
X=acosθ Y=bsinθ (θ为参数 ，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆 此时c=0，圆的acosθ=r)
2）双曲线
文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：
1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.
其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
参数方程：
x=asecθ y=btanθ (θ为参数 )
3）抛物线
标准方程：
1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>0
2.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>0
3.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>0
4.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0
参数方程
x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0
直角坐标
y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ) 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
二、焦半径
圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。
圆锥曲线左右焦点为F1、F2,其上任意一点为P(x,y)，则焦半径为：
椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex
双曲线 P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex
P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex
P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey
P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey
抛物线 |PF|=x+p/2
三、圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程
以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y
即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;
双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；
抛物线:y0y=p(x0+x)
四、焦准距
圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。
椭圆的焦准距:p=(b^2)/c
双曲线的焦准距:p=(b^2)/c
抛物线的准焦距:p
五、通径
圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦成为通径。
椭圆的通径:(2b^2)/a
双曲线的通径:(2b^2)/a
抛物线的通径:2p
六、圆锥曲线的性质对比
见下图：
七、圆锥曲线的中点弦问题
已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程
⒈联立方程法。
用点斜式设出该弦的方程(斜率不存在的情况需要另外考虑),与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。
2.点差法，或称代点相减法。
设出弦的两端点坐标(x1,y1)和(x2,y2)，代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减,运用平方差公式得[(x1+x2)·(x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2)·(y1-y2)/(b^2]=0 由斜率为(y1-y2)/(x1-x2)可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题）

Answer 3

设圆锥曲线的长为l，设圆锥展开后的扇形角度数为n，半径为R，则l=nπR/180°设圆锥侧面面积为S，圆锥地面半径为r，则S=nπl�0�5/360°，∵l=nπR/180°∴S=1/2πl不好意思，这是我自己想的，没有例题。。

Answer 4

圆锥曲线有个重要的思想，那就是对称思想，或者用更通俗的说法---》韦达定理的深入探索，明白了这个其实才算真正掌握了圆锥曲线。

Answer 5

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