Question

求这道概率论的题目怎么解？

Answer 1

(1)由密度函数的性质，有∫(-∞,∞)∫(-∞,∞)f(x,y)dxdy=1。∴1=A∫(0,1)dx∫(x²,1)(x²+y)dy=A∫(0,1)[x²+1/2-(3/2)x^4]dx=8A/15，∴A=15/8。
(2),X的边缘密度函数fX(x)=∫(x²,1)f(x,y)dy=(15/8)[x²+1/2-(3/2)x^4]，0<x<1、fX(x)=0,x为其它。同理，Y的边缘密度函数fY(y)=∫(0,√y)f(x,y)dx=(5/2)y^(3/2)，0<y<1、fY(y)=0,y为其它。
(3)，∵f(x,y)≠fX(x)*fY(y)，∴X、Y不相互独立。
(4),P(Y<X)=A∫(0,1)dx∫(x²,x)(x²+y)dy=A∫(0,1)[x³+x²/2-(3/2)x^4]dx=7/32。
供参考。