线性代数 实对称矩阵A是正定的 与 A的伴随矩阵是正定的 是等价关系吗？
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是等价的。事实上
若A正定当且仅当A的特征值都大于0，故|A|大于0，
从而A可逆，且A^-1的特征值为A的特征值的倒数，
故A^-1的特征值也都大于0，
所以A^-1正定。
而A*={A}A^-1,其特征值是|A|乘以A^-1的特征值，也都大于0，
故A*也正定。
若A正定当且仅当A的特征值都大于0，故|A|大于0，
从而A可逆，且A^-1的特征值为A的特征值的倒数，
故A^-1的特征值也都大于0，
所以A^-1正定。
而A*={A}A^-1,其特征值是|A|乘以A^-1的特征值，也都大于0，
故A*也正定。
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