Question

大学微积分，求极限的题目，求教！

Answer 1

　　属1^∞型极限，须用罗必塔法则，n为整数不能进行求导运算，故须化离散型变量n∈Z为连续性变量x∈R（由归结原则是可以这样进行的），最后还运用了sinx的泰勒展开式：
　lim(n→∞){[ntan(1/n)]^n²}
=lim(n→∞)e^{n²ln[ntan(1/n)]}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】/x²}
=lim(x→0)e^{【ln[(tanx)/x]】'/(x²)'}
=lim(x→0)e^{[(xsec²x-tanx)/(xtanx)]/(2x)}
=lim(x→0)e^[(xsec²x-tanx)/(2x²tanx)]
=lim(x→0)e^[(x-sinxcosx)/(2x²sinxcosx)]
=lim(x→0)e^[(2x-sin2x)/(2x²sin2x)]
=lim(x→0)e^{[2x-(2x)+(1/3!)(2x)³-o(x³)]/2x²[(2x)-(1/3!)(2x)³+o(x³)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)x³-o(x³)]/[4x³-(8/3)x⁵+o(x⁵)]}
=lim(x→0)e^{[(4/3)-o(1)]/[4-(8/3)x²+o(x²)]}
=e^(1/3)

追问

书上是这么解的，但是我总觉得有问题，用第二极限的条件是1的无穷次方，可是(tant-t)/t是0/0未定式

追答

书上的也没有问题，(tant-t)/t是0/0未定式，但按未定式分子分母求导后极限为0,或者把tant展成泰勒式也可得极限为0,故整体确实是无穷小量，所以别怀疑书上解的正确性！好运

Answer 2

解：∵lim(x->∞)[(xtan(1/x)-1)x^2]
=lim(x->∞)[(tan(1/x)-(1/x))/(1/x^3)] (分子分母同除x^3)
=lim(t->0)[(tant-t)/t^3] (令t=1/x)
=lim(t->0)[((sect)^2-1)/(3t^2)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(t->0)[(tant)^2/(3t^2)]
=lim(t->0)[((1/3)/(cost)^2)*(sint/t)^2]
={lim(t->0)[((1/3)/(cost)^2)}*{[lim(t->0)(sint/t)]^2} (应用初等函数的连续性)
=(1/3)*(1^2) (应用重要极限lim(t->0)(sint/t)=1)
=1/3
∴lim(x->∞){[xtan(1/x)]^(x^2)}
=lim(x->∞){[1+(xtan(1/x)-1)]^[(1/(xtan(1/x)-1))*(xtan(1/x)-1)x^2]}
=【lim(x->∞){[1+(xtan(1/x)-1)]^[1/(xtan(1/x)-1)]}】^{lim(x->∞)[(xtan(1/x)-1)x^2]}
(应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->∞)[(xtan(1/x)-1)x^2]} (应用重要极限lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e)
=e^(1/3)。

追问

能写纸上再发吗，看不太明白

Answer 3

同学，认命吧，没几个人学得懂啊