设椭圆上存在一点 p,它到椭圆中心和长轴一个端点的连线互相垂直,求椭圆离心率的
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设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),①
圆（x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2,②与椭圆有异于长轴端点的公共点p,
①*（ab)^2-②*a^2,得
b^2x^2-a^2(x^2-ax+a^2/4)=(ab)^2-a^4/4,
(b^2-a^2)x^2+a^3x-a^2b^2=0,
x1=a,x2=a^3/(a^2-b^2)-a=ab^2/(a^2-b^2)
x2
2b^2=2(a^2-c^2),
∴2c^2>a^2,(c/a)>1/2,
∴椭圆离心率的取值范围是：
（√2/2,1)
圆（x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2,②与椭圆有异于长轴端点的公共点p,
①*（ab)^2-②*a^2,得
b^2x^2-a^2(x^2-ax+a^2/4)=(ab)^2-a^4/4,
(b^2-a^2)x^2+a^3x-a^2b^2=0,
x1=a,x2=a^3/(a^2-b^2)-a=ab^2/(a^2-b^2)
x2
2b^2=2(a^2-c^2),
∴2c^2>a^2,(c/a)>1/2,
∴椭圆离心率的取值范围是：
（√2/2,1)
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2024-10-13 广告
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