Question

在三角形ABC中,AB等于AC,AE是角平分线,BM平分角ABC交AE于点M,经过B,M两点的圆交

BC于点G,交AB于点F，F.B为圆O的直径 当BC等于4,AB等于6时,求圆O的半径

Answer 1

证明：（1）
连接OM
则FM，FB是圆O的半径
∴∠FBM=∠FMB
又 BM平分角ABC
∴∠FBM=∠MBE ①
又AB等于AC,AE是角平分线
∴AE⊥BC
则 ∠MBE+∠BME=90度 ②
由①②得 ∠FMB++∠BME=90度
∴AE于圆O相切(经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)

解：（2）
∵AB等于AC,AE是角平分线
∴BE=EC=1/2BC=1/2*4=2
又 cosC=1/3
∵ ∠B=∠C
∴ cosB=cosC=1/3
从而 cosB/2=√1/2*(1+cosB)
=√1/2*(1+1/3)
=√6/3
又 cosB/2=cos∠MBE=BE/BM
∴ BM=BE/cosB/2
=2/(√6/3)
=√6
cosB/2=cos∠FBE=BM/BF
∴BF=BM/cosB/2
=√6/(√6/3)
=3
∴圆O的半径=1/2BF=1/2*3=1.5