Question

证明方程1+x+x^2+x^3/6=0有且仅有一个实根，用罗尔定理来证明

Answer 1

设f(x)=x^3+x^2+x+1,则
f'(x)=3x^2+2x+1=3(x+1/3)^2+2/3,
当x为实数是恒有
f'(x)>0,
所以f(x)当x为实数时为单调递增函数，所以f(x)=0最多有一个实根，另外f(-1)=0，f(x)=0只有一个实根

Answer 2

先用零点定理证明存在
设f(x)=1+x+x^2/2+x^3/6
又f(0)=1>0
f(-2)=-1/3证明根存在。
（罗尔定理）
假设有两根，则存在f'(§)=0,
又，f'(x)=1+x+x^2/2>0,所以矛盾，故根唯一！
原方程有且只有一个实根.