Question

如何推算出大于(√2+√3)^6的最小整数？

只能用纸和笔（当然还有脑袋瓜）。

Answer 1

 
 
 
假设 x 就是大于 (√2 + √3)^6 的最小整数：
x > (√2 + √3)^6
  > ((√2 + √3)^2)^3
  > (5 + 2√6)(49 + 20√6)
  > 485 + 198√6
(x - 485)^2 > (198√6)^2
x^2 - 970x + 235225 > 235224
(x - 970)x > -1
(x - 970)x >= 0

√6 > √4，故 x > 485 + 198 x 2，即 x > 881。
若 882 <= x <= 969，则 (x - 970) < 0，故 (x - 970)x < 0。
若 x = 970，(x - 970)x = 0，故 x = 970。
 
 
 

Answer 2

1/(√3+√2)=√3-√2
因为√3+√2>1
所以0<1/(√3+√2)<1
所以0<√3-√2<1
所以0<(√3-√2)^6<1

(√2+√3)^6=[(√2+√3)^3]^2
=(2√2+6√3+9√2+3√3)^2
=(11√2+9√3)^2
=242+198√6+243
=485+198√6

同理
(√3-√2)^6=485-198√6
相加
(√3+√2)^6+(√3-√2)^6=970
0<(√3-√2)^6<1
所以969<(√3+√2)^6<970
所以最小整数=970

Answer 3

把根号2和根号3都算到小数点后第十位，算出这个式子的值，不就很容易得出答案了吗？我们那时候老师都要求会笔算开方（其中笔算开平方和开立方都是必须掌握的），不知道你们要求了没，如果不会笔算开方那你得记住根号2约等于1.414,根号3约等于1.732,若不会笔算开方而且连这个也没记住，那你用纸和笔（还有脑袋瓜）是无法解决这个问题的。

Answer 4

(√3+√2)^6+(√3-√2)^6
=2*(1*3^0*2^3+15*3^1*2^2+15*3^2*2^1+1*3^3*2^0)
=2*(8+180+270+27)
=2*475
=950
显然有,0<(√3-√2)^6<1,
故所求为949.

竟然和前几位的结果都不一样，唉，从小就爱马虎，可能是那里算错了，不过思路大致如此，楼主凑和看吧。

Answer 5

(√2+√3)^6
=(2+2√2√3+3)^3
=(4+4√2√3+6+4√2√3+12+6√2√3+6+6√2√3+9)(2+2√2√3+3)
=(37+20√2√3)(2+2√2√3+3)
=74+40√2√3+74√2√3+240+111+60√2√3
=425+174√2√3
因为
2<√2√3<3
所以最小整数为
425+174*2=772