Question

如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a,PB=2a,PC=3a(a>0).(1) 求∠APB的度数；（2）求正方形ABCD的面积。

Answer 1

（1）解：将三角形ABP绕点B顺时针旋转90度得到三角形CBG
所以角PBG=角90度
三角形ABP和三角形CBG全等
所以PA=CG
角APB=角CBG
PB=GB
所以三角形PBG是等腰直角三角形
所以由勾股定理得：
PG^2=PB^2+GB^2
角BGP=45度
因为PB=2a
所以PG^2=8a^2
因为PA=a
所以CG=a
因为a^2+8a^2=9a^2
PC=3a
所以PC^2=PB^2+CG^2
所以三角形PGC是直角三角形
所以角PGC=90度
因为角CGB=角PGC+角BGP=90+45=135度
所以角APB=135度
（2）解：因为四边形ABCD是正方形
所以S正方形ABCD=AB^2
在三角形APB中，由余弦定理得：
AB^2=PA^2+PB^2-2*PA*PB*cos角APB
因为PA=a PB=2a 角APB=135度
所以AB^2=5a^2-2a^2倍根号3

Answer 2

解：（1）将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ。
则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB。
于是PB=QB=2a，PQ=，
在△PQC中，
∵PC2=9a2，PQ2+QC2=9a2
∴PC2=PQ2+QC2
∴∠PQC=90°
∵△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=∠BQP=45°
故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°

（2）∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，
∴三点A、P、Q在同一直线上
在Rt△AQC中，AC2=AQ2+QC2=（a+2a）2+a2=（10+4）a2
∴正方形ABCD的面积。