Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，点P(√2,1)是AB的中点

与l垂直的直线l`交抛物线于C、D两点。
（1）求抛物线的方程；（2）若四边形ABCD面积为18，求证：直线l`经过抛物线焦点F

Answer 1

(1)抛物线y^2=2px①的焦点为F(p/2,0),
l:x=my+p/2,②
代入①，y^2-2mpy-p^2=0,③
P(√2,1)是弦AB的中点，
∴(y1+y2)/2=mp=1,由②，√2=m+p/2.∴1/p+p/2=√2，解得p=√2，
∴抛物线方程是y^2=2√2x.④
(2)由(1),m=1/p=1/√2，③变为y^2-2y-2=0,△=12，|AB|=√[△(1+1/2)]=3√2，
设l':x=-√2y+n,代入④，y^2+4y-2√2n=0,△1=16+8√2n,|CD|=√[△1(1+2)],
四边形ABCD面积=(1/2)|AB|*|CD|=18,
∴|CD|=6√2,3△1=72,16+8√2n=24,
∴n=√2/2，
∴直线l`经过抛物线焦点F.