Question

值为0的n阶行列式经初等变换后是否一定可将其中一行(或一列)的元素全部化为0 ？

学线代的时候想到: 值为0的n阶行列式经初等变换后是否一定可将其中一行(或一列)的元素全部化为0 ? 如果是的话，感觉在关于矩阵秩有些性质和定理中可以比较容易很快理解。如何证明这个命题的真伪。

Answer 1

你的思考是对的，值为0的n阶行列式经初等变换后一定可将其中一行(或一列)的元素全部化为0。

事实上，对应数字行列式，我们总是经初等变换化为上三角形行列式来计算，如果n阶行列式的值为0，则化为上三角形行列式时，至少有最后的一行或几行元素都为0，否则，若三角形行列式所有各行元素都不全为0，则主对角线上的元素都不为0，从而行列式的值不为0，矛盾。