Question

∑ [（n+1）^lnn]/(lnn)^n 的敛散性

Answer 1

设an=[（n+1）^lnn]/(lnn)^n
(an)^(1/n)=[（n+1）^(lnn/n)]/(lnn)
n趋向于无穷大时（n+1）^(lnn/n）的极限为1
因此n趋向于无穷大时，(an)^(1/n)的极限为0
因此级数收敛
对于级数判断收敛的问题，比较法是最常用的方法，有两种比较方法，都要熟练掌握，当用比较法的极限形式时就将问题归结为求极限，所以要掌握求极限的各种方法
当指数为对数的时候就用对数变换来求极限就可以了，比如这道题中（n+1）^(lnn/n）的极限为1是这样来求的
（n+1）^(lnn/n）=e^(lnnln(n+1)/n)
因此只要求出lnnln(n+1)/n的极限
而用洛必达法则lnnln(n+1)/n的极限为0，
因此（n+1）^(lnn/n）=e^(lnnln(n+1)/n)的极限为1

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示