Question

如图所示,圆O是RT三角形ABC中以直角边AB为直径的圆,圆O与斜边AC交于点D，过点D做DH垂直

AB于点H，又过点D作直线DE交BC于点E，使角HDE=2陪角A，求证：（1）DE是圆O的切线；（2）OE是RT三角形ABC的中位线。

Answer 1

解：（1）连接OD，
则∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
则∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵DE是⊙O的切线，∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
又OB=OD，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△DOE，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，
又∠HOD=2∠A，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD，
而O是AB的中点，
故OE是△ABC的中位线．