Question

已知函数f(x)=ax05+bx+c(a>0)且f(1)=-a/2

（1）求证函数f（x）有两个 不同的零点（2）设x1x2是函数f(x)的两个不同零点，求x1-x2绝对值的取值范围（3）求证函数f(x)在区间（0,2）内至少有一个零点

Answer 1

1) f(x)=ax²+bx+c,
a>0,即开口向上
f(1)=-a/2<0,
因此方程有2根，且一根大于1，另一根小于1.

2）由f(1)=a+b+c=-a/2,得c=-3a/2-b
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=(b/a)²-4(-3a/2-b)/a=(b/a)²+4(b/a)+6=(b/a+2)²+2>=2
所以有|x1-x2|>=√2

3) f(1)=-a/2<0
f(0)=c=-(3a/2+b)
f(2)=4a+2b+c=4a+2b-3a/2-b=5a/2+b
若b>=0, 则f(2)>0. 此时在(1,2)必有零点；
若b<0,则f(0)>0,此时在(0,1)必在零点。
因此f(x)在(0,2)必有零点。