若x、y、z均为正实数，则（ xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)的最大值是多少？
1个回答
展开全部
均值不等式，x,y,z都是正实数,有
x^2+(y^2)/2≥xy√2.....①（等号成立x^2=(y^2)/2
(y^2)/2+z^2≥yz√2.....②（等号成立(y^2)/2=z^2
①+②得
x^2+y^2/2+y^2/2+z^2≥xy√2+yz√2=√2(xy+yz)
所以
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤1/√2=(√2)/2
故当且仅当x^2=(y^2)/2=z^2，即x=(√2)y/2=z时，(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)取得最大值(√2)/2
x^2+(y^2)/2≥xy√2.....①（等号成立x^2=(y^2)/2
(y^2)/2+z^2≥yz√2.....②（等号成立(y^2)/2=z^2
①+②得
x^2+y^2/2+y^2/2+z^2≥xy√2+yz√2=√2(xy+yz)
所以
(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)≤1/√2=(√2)/2
故当且仅当x^2=(y^2)/2=z^2，即x=(√2)y/2=z时，(xy+yz)/(x^2+y^2+z^2)取得最大值(√2)/2
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
