Question

已知椭圆方程为x^2/4+y^2=1，求过点（1,0）的弦的中点的轨迹方程

Answer 1

设弦与椭圆交点为(x1,y1)，(x2,y2)，弦的中点为(x,y)，则
x1²/4+y1²=1
x2²/4+y2²=1
两个式子相减得到：(x1+x2)(x1-x2)/4+(y1+y2)(y1-y2)=0
∵x1+x2=2x
y1+y2=2y
∴x(x1-x2)+2y(y1-y2)=0
∴斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)=-x/2y
∴y/(x-1)=-x/2y
整理得，x²+2y²-x=0

Answer 2

解：设弦的中点（x，y），弦与椭圆的两个交点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）
则
(1/4)(x1)^2
+
(y1)^2=1
①
(1/4)(x2)^2
+
(y2)^2=1
②
x1+x2=2x
③
y1+y2=2y
④
设弦所在直线y=kx+b
∴1=k*0+b
∴b=1
y1=kx1+1⑤
y2=kx2+1⑥
⑤-⑥得y1-y2=k(x1-x2)
⑦
①-②得(1/4)(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
⑧
将③④⑦代入⑧得x/2+2ky=0
∴k=-x/(4y)
⑨
⑤+⑥得y1+y2=k(x1+x2)+2
⑩
将③④⑨代入⑩得2y=-2(x^2)/(4y)+2
∴4y^2=-x^2+4y
∴x^2+(2y-1)^2=1即为所求轨迹方程