Question

用数学归纳法证明1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)

Answer 1

先证明引理：当0<x<=1时
x>ln(1+x)
证明如下：构造函数y=x-ln(1+x)
则y'=1-1/(1+x)>0
故函数在(0,1]单调增
又y(x=0)=0
故当0<x<=1时
x>ln(1+x)
则当k>1时
有1/k>ln(1+1/k)=ln(k+1/k)
用数学归纳法证明
1.当n=2时，左边=1+1/2
显然>ln3/2
故不等式当n=2时成立
2.设当n=k-1(k
E
N*,k>=3)时成立
当n=k时
左边>lnk+1/k>lnk
+ln(k+1/k)=ln(k+1)
故当n=k时，不等式成立
3.由数学归纳法原理，对于所有n>1的正整数，不等式均成立。