展开成洛朗级数如下：
原式=(1/z)[1/(z-i)-1/(z+i)]/(2i)=(1/2z)[1/(1-(-iz))+1/(1-iz)]/2.由于|iz|=|-iz|<1所以直接把后面中括号里的式子用1/(1-z)=1+z+z^2+…(|z|<1)就行。
单边Z变换
因果序列的单边Z变换与双边Z变换的结果相同。由于单边Z变换的求和下限为n=0，所以任一有界序列x（n）（因果或非因果序列）的单边Z变换等于因果序列x（n）E（n）的双边Z变换。双边Z变换的求和范围为n=-∞到∞，单边Z变换的求和范围为n=0到∞。
由于单边Z变换可以考虑到初始条件，所以用于在已知系统的初始状态以及序列的初始条件时求取系统的瞬态响应，既可以求零输入响应，又可以求零状态响应。
f(z)=1/[z(1-z)^2]=1/z+1/(1-z)+1/(1-z)^2
1/z=1/(z-2+2)=(1/2){1/[1+(z-2)/2]}=(1/2){1/[1-(2-z)/2]}=(1/2){1+[(2-z)/2]+[(2-z)/2]^2+...+[(2-z)/2]^n+...}，
等比级数：
公比q=(2-z)/2，q的绝对值<1，首项为1，和为1/[1-(2-z)/2]
1/(1-z)=1/(2-z-1)=-1/[1-(2-z)]=-[1+(2-z)+(2-z)^2+...+(2-z)^n+...]也是公比绝对值小于1的等比级数
1/(1-z)^2=[1/(1-z)]'=1+2(2-z)+3(2-z)^2+...+(n+1)(2-z)^n+...，对上面级数
例如：
于|原式=(1/z)[1/(z-i)-1/(z+i)]/(2i)=(1/2z)[1/(1-(-iz))+1/(1-iz)]/2.由于|iz|=|-iz|<1所以直接把后面中括号里的式子用1/(1-z)=1+z+z^2+…(|z|<1)就行。
扩展资料：
因果序列的单边Z变换与双边Z变换的结果相同。由于单边Z变换的求和下限为n=0，所以任一有界序列x（n）（因果或非因果序列）的单边Z变换等于因果序列x（n）E（n）的双边Z变换。双边Z变换的求和范围为n=-∞到∞，单边Z变换的求和范围为n=0到∞。
由于单边Z变换可以考虑到初始条件，所以用于在已知系统的初始状态以及序列的初始条件时求取系统的瞬态响应，既可以求零输入响应，又可以求零状态响应。
参考资料来源：百度百科-Z变换
