Question

求满足不等式（1+1/n）的N次方<n的正整数的N的范围，用数学归纳法证明

Answer 1

证明：
(1)当n=1时，左边=1+1/2-1=1/2<1
不等式成立
(2)假设当n=k时不等式成立，即：1+1/2+1/3+......1/2^k-1>k成立。

那么，当n=k+1时，左边=1+1/2+1/3+......1/2^k
+
2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方
利用归纳假设：上式
>
k
+
2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方。
注意：2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方，这中间共有2的k次方项。
若能证明：2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方<1，那么即可证明1+1/2+1/3+......1/2^k
+
2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方<k+1
下面利用放缩法正明2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方<1
将上式左边的每一项的分母均缩小为2的k次方。由于每一项的分母均被扩大，所以上式的每一项都被缩小。
所以：2的k次方+1分之1+....+2的k+1次方<2^k*(2的k次方分之一)
=1
所以上式得证。

Answer 2

n=1或2时不成立.1当n=3时,等式成立.2假设当n=k时原式成立,即(1+1/k)的k次方<k;当n=k+1时,(1+1/(1+k))的k+1次方<(1+1/k)的k+1次方<k*(1+1/k)=k+1.由1,2可知,原命题得证.