Question

如图,已知AB是圆O的直径,AB=10,点C,D在圆O上,DC平分∠ACB,∠EAC=∠D.

①求证：AE是圆O的切线。②：若BC=6，求CD的长。急需。。。。。。
我素初三滴学生=，，=

Answer 1

过C作AE的垂线，设垂足为F，则容易证明三角形ABC相似于CAF（因为都有直角切∠B=∠D=∠EAC）所以∠BAC=∠ACE所以两条线平行，所以BA垂直于AE，所以是切线。第二问，知道BC=6的话就可以得到三角形ABC勾股定理知道AC=8。设AB，CD的焦点为G，那么由角平分线定理有BC：BG=CA：AG，所以可以得到BG：AG=3：4，所以BG=30/7，AG=40/7。然后又容易证明三角形CBG相似于三角形ADG（两个同狐圆周角），所以只需要知道CG或者DG的长度就能求出整个的长度。下面求CG的长度，利用余弦定理cosB=3/5，BC=6，BG=30/7，能求出CG=24根号2/7，再根据比例DG=AG*BG/CG=50根号2/7，加起来是74根号2/7。计算需要你再验证一下。
角平分线定理：
定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，

如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

注：定理2的逆命题也成立，证明过程见后文。

角平分线的定义

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。

PS：三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。

拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

Answer 2

过C作AE的垂线，设垂足为F，则容易证明三角形ABC相似于CAF（因为都有直角切∠B=∠D=∠EAC）所以∠BAC=∠ACE所以两条线平行，所以BA垂直于AE，所以是切线。
第二问，知道BC=6的话就可以得到三角形ABC勾股定理知道AC=8。设AB，CD的焦点为G，那么由角平分线定理有BC：BG=CA：AG，所以可以得到BG：AG=3：4，所以BG=30/7，AG=40/7。然后又容易证明三角形CBG相似于三角形ADG（两个同狐圆周角），所以只需要知道CG或者DG的长度就能求出整个的长度。
下面求CG的长度，利用余弦定理cosB=3/5，BC=6，BG=30/7，能求出CG=24根号2/7，再根据比例DG=AG*BG/CG=50根号2/7，加起来是74根号2/7。计算需要你再验证一下。

追问

我布吉岛啥是焦点啥是角平分线定理我素初三学生=，，=

追答

平分线定理楼下的说了，不用这个定理用三角形相似也是可以证明的。我上面用角平分线定理证明的是BC：BG=CA：AG。
用三角形CBG相似于三角形ADG相似于三角形CDA，有BC：BG=AD：DG=CA：AG

Answer 3

这里同初三滴~刚考完期末
1.证明：设DC与AB的交点为F
连接BD,由题可知：∠BDA=∠BCA=90°
∵∠BCD=∠ACD=45°
∴BD=AD，∠DBA=∠DAB=45°
由∠DBA=∠ACD=45°
∠BFD=∠CFA
∴△AFC∽△DFB
∴∠FAC=∠FDB
又∵∠EAC=∠D
∠D+∠FDB=90°
∴∠FAC+∠EAC=90°
∴AE是圆O的切线。

2.用垂径定理和勾股定理再设个未知数就求出来了，自己想把~

Answer 4

证明：∵∠D与∠B为同弦所对的角
∴∠D=∠B
∵∠EAC=∠D
∴∠EAC=∠B
∵∠ACB为圆O直径AB所对的角
∴∠ACB=90°
故∠B+∠BAC=90°
即∠EAC+∠BAC=90°=∠BAE
故AB⊥AE
∴AE为圆O的切线