Question

已知在矩形ABCD中，AB＝4cm,BC＝8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,

已知在矩形ABCD中，AB＝4cm,BC＝8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为点O，连接AF、CE。（1）求证:四边形AFCE。（2）求AF的长。

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵AC的垂直平分线EF，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，
∠EAO＝∠FCO
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形．

（2）解：∵四边形AFCE是菱形，
∴AF=FC，
设AF=xcm，则CF=xcm，BF=（8-x）cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（8-x）2=x2，
解得x=5，
即AF=5cm．