Question

高一数学 设a＞0 若函数y=cos²x-asinx+b的最大值为0 最小值为-4 求a、b的值？ 要详解

高一数学 设a＞0 若函数y=cos²x-asinx+b的最大值为0 最小值为-4 求a、b的值？ 要详解 谢谢。

Answer 1

y=cos²x-asinx+b
=1-sin²x-asinx+b
=-sin²x-asinx+b+1
=-(sinx+a/2)²+(a/2)²+b+1

设sinx=t，-1≤t≤1.
则y=-(t+a/2)²+(a/2)²+b+1,

分两种情况讨论：
(1)当a≥2时，对称轴t=-a/2在t=-1左侧，因而t=-1时取最大值，t=1时取最小值，
所以：
a+b=0，
-a+b=-4

解得：a=2,b=-2.

(2)当0＜a＜2时，对称轴t=-a/2在t=-1与t=0之间，因而t=-a/2时取最大值，t=1时取最小值，
所以：
(a/2)²+b+1=0
-a+b=-4

解得：
a=2,b=-2.这不符合前提条件：0＜a＜2.

综合考虑得：
a=2，
b=-2。

追问

问一下第二种讨论的时候为什么是t=1取最小值 而不是t=0

追答

抛物线开口向下，所以是离对称轴越远，值越小，t=1时离对称轴远，所以是t=1时。