Question

求数学高手帮忙用几何方法证明不等式

用几何方法证明不等式

好像是在圆中证明的。我只要左右两个不等号的证明（中间的我会），麻烦老师了

Answer 1

几何构造如下图所示，希望对你有所帮助。

说明：此图的前提是a<b，可以证明EG//BC，因此D点必在CE之间。

追问

MD怎么求的？为什么EG//BC？能简述下吗？

追答

有平行就有相似和比例关系，你稍微动一下就有了。

追问

哦，我明白了
你求MD的方法怎么这么奇特，你怎么想到的啊？

追答

MD＝2ab/(a+b)＝a / [(a+b)/2] * b
有除法运算，最显而易见的办法就是通过构造相似比例
关系得到(还有一种是利用相交弦定理或割线定理来实现，
本题可以用相交弦定理来实现).
当然，如何能将需要比较的线段放到一起，方便比较，
这是构造时需要考虑的主要问题。

Answer 2

我用面积试证明一下：（若不清楚，可下载图片，即可清晰地看到证明过程）

追问

这样做的条件是a+b=1，能推广到实数范围吗？

追答

若设a+b=1，则a≥1/2，b≤1/2，ab≤1/2,
那么2/(1/a+1/b)=2ab/(a+b)=2ab/1=2ab≤1
而1/2≤√ab，无法证明1≤√ab，也就是说：
2/(1/a+1/b)≤√ab不成立。结论是：设a+b=1证明不了需要证明的不等式。
但这并不说明这种方法行不通，只是在设置技巧上需要灵活处理。
其实，设a+b=2已经推广到实数范围内了：①因为a≥1,b≤1的题设中 ,a、b两数是可以互换；
②若a=√2，则b=2-√2......在正方形的边长上有无数组a、b分割着，都是在实数范围内的（有：有理数、无理数、整数、小数......），不知你如何看待这种解释？愿意与你探讨～