Question

高分！证明二阶线性常微分方程有两线性无关解

Answer 1

一般n阶线性常微分方程一定有n个线性无关解。
证明的话需要颇大篇幅，对於2阶的情况，大致可以从以下几点考虑，供思考
1）
若方程有2个线性无关解，则其线性组合必也为原方程的解（此为叠加原理）
2）
若方程有2个线性无关解，代入2个解到原方程可得其对应朗斯基行列式，此时朗斯基行列式在相应区间上必恒不为零，由线性代数知2个线性无关解可以构成原方程通解；同时可知1个解不能表示出通解
3）
若方程有3个线性无关解，则两两相减得2个线性无关解，再依2），可知3个解线性无关矛盾。
最后就是总结上边，即为通解结构定理（LZ的题目只是定理其中一个小部分）