Question

求收敛半径

Answer 1

利用欧拉公式
e^(inθ)=cos(nθ)+isin(nθ)
Σr^ncos(nθ)/n
=Σr^nRe[e^(inθ)]/n
=Re[Σr^ne^(inθ)/n]
=Re{Σ[re^(iθ)]^n/n}
令z=re^(iθ)
先不看Re，那加和变为
Σz^n/n,
n从1开始到无穷
要收敛用比值判定，必然|z|<1
边界处z=-1也收敛(交错级数)，即z的收敛域为[-1,1)
然后求和
令S=Σz^n/n,
n从1开始到无穷
S'=Σz^(n-1)=1/(1-z)
(几何级数)
S=积分
1/(1-z)
dz
=-ln|1-z|=-ln|1-re^(iθ)|
Σr^ncos(nθ)/n=Re[-ln|1-re^(iθ)|]=-ln[(1-rcosθ)^2+(rsinθ)^2]=-ln[1+r^2-2rcosθ]
收敛域为
1.当θ=2kpi时
e^(iθ)=1,
z=r可以等于-1
r属于[-1,1)
2.当θ=2kpi+pi时
e^(iθ)=-1,
z=-r可以等于-1，r可以取1
r属于(-1,1]
3.当θ=2kpi加减pi/2时
z=0
恒收敛，收敛域为R
4.θ不属于以上三种，则
r属于(-1,1)

Answer 2

这一个的收敛域，是跟θ有关的，
若θ=kπ/2,
k=0,
正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=0,
此时收敛域是(负无穷，正无穷）
若θ=2kπ，
k=0,
正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^(2kn)*r^n/n=r^n/n,
此时的收敛域是[-1,1)
若θ=(2k+1)π，
k=0,
正负1，正负2......,
r^ncos(nθ)/n=(-1)^[(2k+1)n]*r^n/n=(-1)^n*r^n/n,
收敛域是(-1,1]
其他情况下，由于|cos(nθ)|<=1,
|r^ncos(nθ)/n|<|r^n/n|
收敛域跟r^n/n是相同的，除了端点-1
所以收敛域是（-1,1）