Question

已知定义域为R的奇函数f(x）满足f(x+1)=f(x-1),且当x属于（0,10)时，f(x)=(2^x)/(2^x+1).

1)求f(x)在区间[-1,1]上的解析式；
2)当m取何值时，方程f(x)=m在区间(0,1)上有解？
题目更正为：已知定义域为R的奇函数f(x）满足f(x+1)=f(x-1),且当x属于（0,1)时，f(x)=(2^x)/(2^x+1).

Answer 1

（1）
f(x)为定义在R上的奇函数
所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=0；
又f(1)=f(0+1)=f(0-1)=f(-1)，且f(-1)=-f(1)，所以f(-1)=f(1)=0；
当x∈(-1，0)时，-x∈(0，1)，f(-x)=[2^(-x)]/[2^(-x)+1]=1/(2^x+1)，所以f(x)=-1/(2^x+1)。
所以，
(2^x)/(2^x+1) x∈(0，1)，
f(x)=0 x=-1，0，1，
-1/(2^x+1) x∈(-1，0)。
（2）
x∈(0，1)时，
m= (2^x)/(2^x+1) =1-1/(2^x+1) ∈(1/2，2/3)，
即m ∈(1/2，2/3)时，方程f(x)=m在区间(0,1)上有解。