Question

高等数学微分方程问题求助

Answer 1

1＋(y')²=2yy''
令y'=p
y''=dp/dx=dp/dy·dy/dx=pdp/dy
1＋p²=2ypdp/dy
dy/y=2pdp/(1＋p²)
两边积分得
ln|y|=ln(1＋p²) ＋ln|C|
y=C(1＋p²) ①
(y－C)/C =p²
±∨[(y－C)/C]=dy/dx
即dx=±∨[C/(y－C)]dy
两边积分得
x=±2∨[C(y－C)]＋C'
(x－C')²=4C(y－C) ②
所以此方程的通解为4C(y－C)=(x－C')²
将y(1)=1，y'(1)=－1代入①得
1=C(1＋1) ， C=1/2
则②式变为
(x－C')²=2y－1 ③
将y(1)=1代入③得
(1－C')²=1
C'=0或C'=2
C'=0时，y=1/2 (x²＋1)，经检验不满足y'(1)=－1，舍去
C'=2时，(x－2)²=2y－1，即y=1/2 (x²－4x＋5)，经检验满足
所以满足题意的原方程特解为y=1/2 (x²－4x＋5)
选择A
(作为选择题，可以直接将选项代入题目，哪个满足选哪个。)

Answer 2