Question

已知a+b>0，n∈正整数、且为偶数，证明 b^(n-1)/a^n+a^(n-1)/b^n>=1/a+1/b

Answer 1

用排序不等式做最快
由a+b>0
不妨设a>b
若b为负数
显然|a|>|b|
又n为正偶数
故a^n>b^n
故1/a^n<1/b^n
又a>b
n-1为奇数
故有b^(n-1)<a^(n-1)
故左边为正序和
由正序和大于等于反序和
得
左边>=a^(n-1)/a^n+b^(n-1)/b^n=1/a+1/b=右边
当且仅当a=b时取等号
故不等式成立
背景知识：
排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标
要求的基本不等式。
设有两组数
a
1
,
a
2
,……
a
n,
b
1
,
b
2
,……
b
n
满足
a
1
≤
a
2
≤……≤
a
n,
b
1
≤
b
2
≤……≤
b
n
则有
a
1
b
n
+
a
2
b
n+……+
a
n
b
n≤
a
1
b
t
+
a
2
b
t
+……+
a
n
b
t
≤
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
a
n
b
n
式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列，
当且仅当
a
1
=
a
2
=……=
a
n
或
b
1
=
b
2
=……=
b
n
时成立。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a1>=a2>=a3>=...>=an，确定大小关系.
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为：
反序和≤乱序和≤同序和.