Question

已知正项数列﹛an﹜的前n项和sn满足2√sn=an+1，求证：﹛an﹜是等差数列

Answer 1

2
√sn=an+1
==>an=2√(sn)-1
==>
(an+1)/2=√sn
==>
an平方+1+2an=4sn

同理
a(n-1)平方+1+2a(n-1)=4s(n-1)
==>
4sn-4s(n-1)=4an=an平方+1+2an-a(n-1)平方-1-2a(n-1)
==>整理有：
(an平方-a(n-1)平方)-2(an+a(n-1))=0
==>
两边同除以“(an+a(n-1))",（平方差公式！！！）
==>
an-a(n-1)-2=0
==>
an=等差数列，公差d=2

Answer 2

n=1有
S1=a1
2√
S1=a1+1
2√
a1=a1+1
4a1=a1^
2+2a1+1
a1^
2-2a1+1=0
(a1-1)^
2=0
a1=1
n>1有
2√
Sn=an+1
Sn=(an+1)^
2/4
（1）
S(n-1)=(a(n-1)+1)^
2/4
（2）
（1）—（2）得
Sn-S(n-1)=(an+1)^
2/4-(a(n-1)+1)^
2/4
4an=(an+1)^
2-(a(n-1)+1)^
2
(a(n-1)+1)^
2=(an-1)^
2
又因为{an}为正数数列，
则：an-1=a(n-1)+1
an=a(n-1)+2
a1=1
﹛an﹜是首项=1公差=2的等差数列