数学第14题，求解
图4、5、6没有用处，只是备用图。。
解：（1）PQ=PB，
证明：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形（如图1）．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．
（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
∵AP=x，∴AM=MP=NQ=DN=二分之根号2 x，
BM=PN=CN=1-二分之根号2 x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×二分之根号2 x=1-根号2 x
∴S△PBC=1/2×BC×BM=1/2×1×（1-根号2 x）=1/2-四分之根号2 x
S△PCQ=1/2×CQ×PN=1/2×（1-根号2 x）×（1-二分之根号2 x）=1/2-四分之三根号2 x+1/2 x²
∴S四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ=1/2 x²-根号2 x+1
即y=1/2 x²-根号2 x+1（0≤x＜二分之根号2）
（3）△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合，点Q与点D重合，这时PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此时x=0；
②当点Q在边DC的延长线上，且CP=CQ时，△PCQ是等腰三角形，
此时，QN=PM=二分之根号2 x，CP=根号2-x,CN=二分之根号2CP=1-二分之根号2 x，
∴CQ=QN-CN=二分之根号2 x-（1-二分之根号2 x）=根号2x-1，
当根号2-x=根号2x-1时，得x=1.
③BP⊥AC，Q点与C点重合，PQ=CP，△PCQ不存在．
综上所述，x=0或1时，△PCQ为等腰三角形．
过P作PH⊥BC于H，
由PH=PN=MB，∠BPQ=∠HPN=90º，
∴△BMP≌△PNQ（AAS）
∴PB=PQ，
（2）四边形PBCQ面积=正方形PHCN面积
y=（√2-x）²÷2=（x²-2√2x+2）/2
（3）①当Q在CD之间时，P与A重合，△BPD是等腰三角形，
②当Q在DC延长线上时，设PB=PQ
PC=√2CN，CQ=NQ-NC
∴√2NC=NQ-NC
√2NC=（1-NC）-NC，
√2NC=1-2NC
NC=1/（√2+2），又PC=√2NC，
∴PC=√2/（√2+2）=√2-1
∴AP=x=√2-PC=1.
这是上海市中考题，我给学生讲过的。
做PM⊥BC于M，PN⊥CD于N
那么PMCN是正方形
∴PM=PN，∠MPN=∠BPQ=90°
∴∠BPM+∠MPQ=∠MPQ+∠QPN
即∠BPM=∠QPN
∴RT△BPM≌RT△QPN(ASA)
∴PB=PQ
2、根据第一问：正方形PMCN面积=S四边形PBCQ=y
∵AC=√2
CP=√2-x
∴PM=√2/2CP=√2/2(√2-X)
∴y=PM²=[√2/2(√2-X)]²=1/2(√2-X)²
y=1/2x²-(√2)x+1
3、（1）P在A点时，△PQC是等腰直角三角形
x=0
最后一题
