Question

设n阶方阵A与B相似,证明:A和B有相同的特征值.

Answer 1

因为a与b相似
所以存在矩阵p满足
b=p^-1ap
所以特征多项式
|b-λe|
=
|p^-1ap-λe|
=
|p^-1(a-λe)p|
=
|p^-1||a-λe||p|
=
|a-λe|
即a,b的特征多项式相同
所以a与b有相同的特征值

Answer 2

假定存在N阶可逆矩阵M
使得M^-1*B*M=A
,只要证明他们的特征多项式完全一样，注意利用|M^-1|*|tE-B|*|M|=|tE-A|
,两个乘积的拉普拉斯定理|P|*|Q|=|PQ|可推广为多个矩阵相乘的情形。特征多项式这样一致了。特征多项式|tE-A|
和|tE-B|,|M^-1|*|M|=1