Question

急求2000年全国初中数学竞赛试题详细答案

一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多能容纳32人,而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每一层.问:电梯停在哪一层,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)

Answer 1

显然，这32人恰好是第2层至第33层各住1人，每个乘电梯上下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数。事实上，设住s层的人乘电梯，而住t层的人直接上楼，s<t,交换两种人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少。
设电梯停在x层，在第一层有y个人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意的总分为:
S=3[1+2+...+(33-x)]+3(1+2+...+y)+[1+2+...+(x-y-2)]
化简之后
=2[x-(y+102)/4]^2+(y-6)^2×15/8+316≥316
可知当x=27,y=6时，S=316
当电梯停在27层时，不满意总分最小值为316分