Question

下面四个命题：①已知函数f（x）=x ，x≥0 -x ，x＜0 且f（a）+f（...

下面四个命题： ①已知函数f（x）=x ，x≥0 -x ，x＜0 且f（a）+f（4）=4，那么a=-4； ②要得到函数y=sin（2x+π3）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移π3单位； ③若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），则f（x）是周期函数； ④已知奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，且f（-1）=0，则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1}． 其中正确的是_____．

Answer 1

解：对于①，∵f（x）=x ，x≥0 -x ，x＜0 ，
∴f（4）=2，
又f（a）+f（4）=4，
∴f（a）=2．
若a≥0，则f（a）=a=2，a=4．
若a＜0，则f(a)=-a=2，a=-4．∴命题①错误；
对于②，∵y=sin（2x+π3）=sin[2（x+π6）]，
∴要得到函数y=sin（2x+π3）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移π6单位．∴命题②错误；
对于③，若定义在（-∞，+∞）上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），
则f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x）．
∴f（x）是周期为2的周期函数．命题③正确；
对于④，奇函数f（x）在（0，+∞）为增函数，则f（x）在（-∞，0）上为增函数，
又f（-1）=0，
∴f（1）=0，
则不等式f（x）＜0的解集{x|x＜-1或0＜x＜1}．∴命题④错误．
∴正确的命题是③．
故答案为：③．