在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;...
在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求...
在直角坐标系xOy中,以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切. (1)求圆O的方程; (2)圆O与x轴相交于A、B两点,圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求PA•PB的取值范围.
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解:(1)依题设,圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离,
即r=41+3=2.
得圆O的方程为x2+y2=4.
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(-2,0),B(2,0).
设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2,
即x2-y2=2.
PA•PB=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
由于点P在圆O内,故x2+y2<4x2-y2=2
由此得y2<1.
所以PA•PB的取值范围为[-2,0).
即r=41+3=2.
得圆O的方程为x2+y2=4.
(2)不妨设A(x1,0),B(x2,0),x1<x2.由x2=4即得A(-2,0),B(2,0).
设P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2,
即x2-y2=2.
PA•PB=(-2-x,-y)•(2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
由于点P在圆O内,故x2+y2<4x2-y2=2
由此得y2<1.
所以PA•PB的取值范围为[-2,0).
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