Question

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切．（1）求圆O的方程；...

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x-3y=4相切． （1）求圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA•PB的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-3y=4的距离，
即r=41+3=2．
得圆O的方程为x2+y2=4．
（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（-2，0），B（2，0）．
设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得(x+2)2+y2•(x-2)2+y2=x2+y2，
即x2-y2=2．
PA•PB=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x2-4+y2=2（y2-1）．
由于点P在圆O内，故x2+y2＜4x2-y2=2
由此得y2＜1．
所以PA•PB的取值范围为[-2，0）．