Question

求下列齐次方程的通解：图中第2题的第(2)、(3)小题怎么写呢？要过程。

Answer 1

解：（2）∵dy/dx=(y/x)(lny-lnx)
==>dy/dx=(y/x)ln(y/x)
==>xdt/dx+t=t*lnt (令y=xt，则dy/dx=xdt/dx+t)
==>xdt/dx=t*(lnt-1)
==>dt/(t(lnt-1))=dx/x
==>d(lnt-1)/(lnt-1)=dx/x
==>ln│lnt-1│=ln│x│+ln│C│ (C是常数)
==>lnt-1=Cx
==>lnt=Cx+1
==>t=e^(Cx+1)
==>y/x=e^(Cx+1)
∴原方程的通解是>y=xe^(Cx+1)；
（3）∵(x^2+y^2)dx-xydy=0
==>(1+t^2)dx-t(xdt+tdx)=0 (令y=xt，则dy/dx=xdt/dx+t)
==>dx=txdt
==>dx/x=tdt
==>ln│x│=t^2/2+ln│C│ (C是常数)
==>x=Ce^(t^2/2)
==>x=Ce^(y^2/(2x^2))
∴原方程的通解是x=Ce^(y^2/(2x^2))。